Функсияи \(y = \frac{e^x}{x}\) таҳқиқ карда шавад.
Ҳал.
1. Соҳаи муайянӣ
Он қиматҳое, ки \(x\) қабул карда метавонад. \(x \neq 0 \Rightarrow D(y)=(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)\).
2. Соҳаи қиматҳо
\(E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)\). Ёфтани соҳаи қиматҳо ба пункти 9 вобастагӣ дорад.
3. Оё функсия маҳдуд аст, ё не?
Функсияи зерин маҳдуд нест. Аз пункти 2 бармеояд.
4. Қиматҳои калонтарин ва хурдатирини функсия
Барои ёфтани қиматҳои хурдтарин ва калонтарин, мо бояд ҳосилаи функсияро ёбем:
$$y'=(\frac{e^x}{x})'=\frac{(e^x)'\cdot x - e^x\cdot(x)'}{x^2}=$$
$$=\frac{e^x\cdot(x-1)}{x^2}$$
Яъне, \(y'=\frac{e^x\cdot(x-1)}{x^2}\). Барои ёфтани калонтарин ва хурдтарин қиматҳои функсия, мо бояд экстремумҳои ин функсияро ёбем. Барои ёфтани экстремумҳо, мо нуқтаҳои буриши ҳосилаи функсия ва хатти \(Ox\)-ро меёбем.
$$y'=0 \Rightarrow \frac{e^x\cdot(x-1)}{x^2}=0 \Rightarrow x_1=1$$.
Ҳангоми \(x\lt1\) будан, қимати ҳосилаи функсия манфӣ мешавад ва ҳангоми \(x\gt1\) будан, қимати ҳосила мусбат мешавад, яъне ҳангоми \(x_1=1\) будан, функсия соҳиби қимати хурдтарин мешавад.
5. Даври функсия
Функсияи \(y = \frac{e^x}{x}\) даврӣ нест.
6. Функсияи зерин ҷуфт ё тоқ?
Барои муайян кардани ҷуфт ё тоқ будани функсия, мо бояд \(f(-x)\)-ро ёбем.
$$f(-x)=\frac{e^{(-x)}}{-x}=-\frac{1}{e^x\cdot x}$$
Азбаски \(f(-x) \neq f(x)\) ва \(f(-x) \neq -f(x)\), пас функсия на ҷуфту на тоқ.
7. Фосилаҳои афзуншавӣ ва камшавии функсия
Ҳангоми \(x \in (-\infty; 0)\) функсия камшаванда, ҳангоми \(x \in (0; 1)\) функсия камшаванда ва ҳангоми \(x \in (1; \infty)\) функсия афзуншаванда мебошад. Барои ёфтани фосилаҳои афзуншавӣ ва камшавӣ мо аз 4 истифода бурдем.
8. Буриш бо \(Ox\) ва \(Oy\)
Буриш бо \(Oy\)-ро меёбем. Барои ин мо бояд \(f(0)\)-ро ҳисоб кунем. Азбаски ба 0 тақсим кардан мумкин нест, пас функсия буриш бо \(Oy\) надорад.
Барои ёфтани буриш бо \(Ox\), мо бояд муодилаи $$\frac{e^x}{x}=0-ро$$ ҳал кунем.
$$\frac{e^x}{x}=0 \Rightarrow e^x=0$$
Аммо, \(e^x=0\) ҳал надорад, яъне функсия буриш бо \(Ox\) надорад.
9. Графики функсия